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Maxwell Equation

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改变人类文明进程的伟大方程(我了个豆，敲LaTeX真累啊)

对称性原则

我们首先回忆学过的方程

在真空中，我们有

  • 电场高斯定理
∯E⋅dS=Qε0 \oiint \boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{dS} = \frac{Q}{\varepsilon_0}
  • 磁场高斯定理
∯B⋅dS=0 \oiint \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{dS} = 0
  • 法拉第电磁感应定律
∮E⋅dl=−dΦBdt=−∬∂B∂t⋅dS \oint \boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{dl} = -\frac{d\Phi_B}{dt} = -\iint \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot \boldsymbol{dS}
  • 安培环路定理
∮B⋅dl=μ0Ienc \oint \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{dl} = \mu_0 I_{enc}

在电介质或者磁芯材料中，我们有

  • 电场高斯定理推广
∯D⋅dS=Qfree \oiint \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{dS} = Q_{free}
  • 磁场环路定理推广
∮H⋅dl=Ifree=∯J⋅dS \oint \boldsymbol{H} \cdot \boldsymbol{dl} = I_{free} = \oiint \boldsymbol{J} \cdot \boldsymbol{dS}

我们还有欧姆定律微分形式

J=σE \boldsymbol{J} = \sigma \boldsymbol{E}

{==对称性原则==}：物理学家们希望方程是对称美观的，观察电场和磁场的高斯定律，于是自然不想看到磁场高斯定律的等号右边空空如也，也希望电场环路定律出现电流的形式，所以引入了磁荷qmq_m对方程进行修正

{∯B⋅dS=qm∮E⋅dl=dqmdt−∯∂B∂t⋅dS \begin{cases} \oiint \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{dS} = q_m \\ \oint \boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{dl} = \dfrac{dq_m}{dt} -\oiint \dfrac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot \boldsymbol{dS} \end{cases}

Stokez公式与麦克斯韦方程

我宣佈現在我也是麥克斯韋了

使用电场的环路定理，再用斯托克斯公式变成面积分

∮H⋅dl=i0=∬S2J0⋅dA\oint \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{l} = i_0 = \iint_{S_2} \boldsymbol{J}_0 \cdot d\boldsymbol{A} −∬S1J0⋅dA=∬S2J0⋅dA=i0-\iint_{S_1} \boldsymbol{J}_0 \cdot d\boldsymbol{A} = \iint_{S_2} \boldsymbol{J}_0 \cdot d\boldsymbol{A} = i_0 ∬SJ0⋅dA=∬S1J0⋅dA+∬S2J0⋅dA=0\iint_{S} \boldsymbol{J}_0 \cdot d\boldsymbol{A} = \iint_{S_1} \boldsymbol{J}_0 \cdot d\boldsymbol{A} + \iint_{S_2} \boldsymbol{J}_0 \cdot d\boldsymbol{A} = 0

这启发我们，以一个封闭的曲面包裹着电流，其面积分为0；

但是这样的结论在给电容器充电时出现了诡异的情况

对于(1,2)曲面，面积分为0，(1,4)曲面，面积分为0，但是(1,3)曲面，面积分不为0，此时电流从1面进入，但是没有从3面出去；这太不自然了

所以我们自然引入位移电流IDI_D

∮H⋅dl=Ifree+ID \oint \boldsymbol{H} \cdot \boldsymbol{dl} = I_{free} + I_D

但是IDI_D是什么呢？我们可以从面积分的形式出发

考虑(1,3)曲面SS，只进不出

∯SJ⋅dS=−dqdt \oiint_S \boldsymbol{J} \cdot \boldsymbol{dS} = -\dfrac{dq}{dt} ∯SD⋅dS=q \oiint_S \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{dS} = q ∯s∂D∂t⋅dS=dqdt \oiint_s \dfrac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \cdot \boldsymbol{dS} = \dfrac{dq}{dt}

所以在(1,3)曲面上，我们有

∯S(J+∂D∂t)⋅dS=0 \oiint_S \left( \boldsymbol{J} + \dfrac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \right) \cdot \boldsymbol{dS} = 0

此时在1曲面进的等于3曲面出的

−∯S1J⋅dS=∯S3J⋅dS - \oiint_{S_1} \boldsymbol{J} \cdot \boldsymbol{dS} = \oiint_{S_3} \boldsymbol{J} \cdot \boldsymbol{dS}
位移电流

1曲面没有位移电流，3曲面没有自由电流，位移电流ID=I0I_D=I_0

最后，更加完整的定义为

ΦD=∬D⋅dAelectric displacement flux\Phi_D = \iint \boldsymbol{D} \cdot d\boldsymbol{A} \quad \text{electric displacement flux} iD=dΦDdt=∬∂D∂t⋅dAdisplacement currenti_D = \frac{d\Phi_D}{dt} = \iint \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \cdot d\boldsymbol{A} \quad \text{displacement current} jD=∂D∂tdisplacement current density\boldsymbol{j}_D = \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \quad \text{displacement current density}

分别是电位移通量，位移电流，位移电流密度

i_D=i_0
E=σeϵ0=qϵ0A∴q=ϵ0AE=ϵ0ΦE=ADE = \frac{\sigma_e}{\epsilon_0} = \frac{q}{\epsilon_0 A} \quad \therefore \quad q = \epsilon_0 A E = \epsilon_0 \Phi_E = AD ∴i0=dqdt=ϵ0dΦEdt=dΦDdt=iD,D=ϵ0E\therefore \quad i_0 = \frac{dq}{dt} = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt} = \frac{d\Phi_D}{dt} = i_D, \quad \boldsymbol{D} = \epsilon_0 \boldsymbol{E}

电容充满电之后iD=i0=0i_D=i_0=0;

这个电流也会产生磁场

∮H⋅dl=∫∫∂D∂t⋅dA(ID)\oint \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{l} = \int \int \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \cdot d\boldsymbol{A} \enspace (I_D) ∮Bμ0⋅dl=ϵ0∫∫∂E∂t⋅dA\oint \frac{\boldsymbol{B}}{\mu_0} \cdot d\boldsymbol{l} = \epsilon_0 \int \int \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} \cdot dA ∮B⋅dl=μ0ϵ0∫∫∂E∂t⋅dA\oint \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{l} = \mu_0 \epsilon_0 \int \int \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} \cdot dA

变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场，这就是麦克斯韦方程

最后，我们得到

∮H⋅dl=∬J⋅dS+∬∂D∂t⋅dS \oint \boldsymbol{H} \cdot \boldsymbol{dl} = \iint \boldsymbol{J} \cdot \boldsymbol{dS} + \iint \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \cdot \boldsymbol{dS}

以及

∇×H=J+∂D∂t \nabla \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{J} + \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}

电磁波

我们可以从麦克斯韦方程推导出电磁波的性质

积分形式：

∯E⋅dA=q0ϵ0\oiint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{A} = \frac{q_0}{\epsilon_0} ∯B⋅dA=0\oiint \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{A} = 0 ∮E⋅dl=−∬∂B∂t⋅dA\oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = -\iint \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot d\boldsymbol{A} ∮H⋅dl=i0+∬∂D∂t⋅dA\oint \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{l} = i_0 + \iint \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \cdot d\boldsymbol{A}

微分形式（自由空间：ρ0=0,J0=0\rho_0 = 0, \boldsymbol{J}_0 = 0）：

∇⋅E=0\nabla \cdot \boldsymbol{E} = 0 ∇×E=−∂B∂t=−κmμ0∂H∂t\nabla \times \boldsymbol{E} = -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} = - \kappa_m \mu_0 \frac{\partial \boldsymbol{H}}{\partial t} ∇⋅H=0\nabla \cdot \boldsymbol{H} = 0 ∇×H=κeϵ0∂E∂t\nabla \times \boldsymbol{H} = \kappa_e \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}

分量形式：

∂Ex∂x+∂Ey∂y+∂Ez∂z=0\frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} = 0 ∣i^j^k^∂∂x∂∂y∂∂zExEyEz∣=−κmμ0(∂Hx∂ti^+∂Hy∂tj^+∂Hz∂tk^)\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ E_x & E_y & E_z \end{vmatrix} = -\kappa_m \mu_0 \left( \frac{\partial H_x}{\partial t} \hat{i} + \frac{\partial H_y}{\partial t} \hat{j} + \frac{\partial H_z}{\partial t} \hat{k} \right) ∂Hx∂x+∂Hy∂y+∂Hz∂z=0\frac{\partial H_x}{\partial x} + \frac{\partial H_y}{\partial y} + \frac{\partial H_z}{\partial z} = 0 ∣i^j^k^∂∂x∂∂y∂∂zHxHyHz∣=κeϵ0(∂Ex∂ti^+∂Ey∂tj^+∂Ez∂tk^)\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ H_x & H_y & H_z \end{vmatrix} = \kappa_e \epsilon_0 \left( \frac{\partial E_x}{\partial t} \hat{i} + \frac{\partial E_y}{\partial t} \hat{j} + \frac{\partial E_z}{\partial t} \hat{k} \right)

平面波

首先，假设单一波源，在很远的自由空间中，在球面上取一弧面，可以近似为平面波；以其传播方向为zz轴，电场和磁场分别为xx和yy轴

将上面的式子依次展开，得到以下8个方程

∂Ex∂x+∂Ey∂y+∂Ez∂z=0∂Ez∂y−∂Ey∂z=−κmμ0∂Hx∂t∂Ex∂z−∂Ez∂x=−κmμ0∂Hy∂t∂Ey∂x−∂Ex∂y=−κmμ0∂Hz∂t∂Hx∂x+∂Hy∂y+∂Hz∂z=0∂Hz∂y−∂Hy∂z=κeϵ0∂Ex∂t∂Hx∂z−∂Hz∂x=κeϵ0∂Ey∂t∂Hy∂x−∂Hx∂y=κeϵ0∂Ez∂t\begin{align*} \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} &= 0 \tag{1} \\ \frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z} &= -\kappa_m \mu_0 \frac{\partial H_x}{\partial t} \tag{2-1} \\ \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x} &= -\kappa_m \mu_0 \frac{\partial H_y}{\partial t} \tag{2-2} \\ \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} &= -\kappa_m \mu_0 \frac{\partial H_z}{\partial t} \tag{2-3} \\ \frac{\partial H_x}{\partial x} + \frac{\partial H_y}{\partial y} + \frac{\partial H_z}{\partial z} &= 0 \tag{3} \\ \frac{\partial H_z}{\partial y} - \frac{\partial H_y}{\partial z} &= \kappa_e \epsilon_0 \frac{\partial E_x}{\partial t} \tag{4-1} \\ \frac{\partial H_x}{\partial z} - \frac{\partial H_z}{\partial x} &= \kappa_e \epsilon_0 \frac{\partial E_y}{\partial t} \tag{4-2} \\ \frac{\partial H_y}{\partial x} - \frac{\partial H_x}{\partial y} &= \kappa_e \epsilon_0 \frac{\partial E_z}{\partial t} \tag{4-3} \end{align*}

接下来，运用这八个方程，一步步推导出电磁波的性质

横波

首先，我们有，在xx和yy方向的电场强度和磁场强度都是一样的，不会变化；所以

∂Ex∂x=∂Ey∂y=∂Hx∂x=∂Hy∂y=0 \dfrac{\partial E_x}{\partial x} = \dfrac{\partial E_y}{\partial y} = \dfrac{\partial H_x}{\partial x} = \dfrac{\partial H_y}{\partial y} = 0

由 (1) 式，我们有

∂Ez∂z=0 \dfrac{\partial E_z}{\partial z} = 0

由 (2-3) 式，我们有

∂Hz∂t=0 \dfrac{\partial H_z}{\partial t} = 0

由 (3) 式，我们有

∂Hz∂z=0 \dfrac{\partial H_z}{\partial z} = 0

由 (4-3) 式，我们有

∂Ez∂t=0 \dfrac{\partial E_z}{\partial t} = 0

所以电场和磁场随着z轴的变化是不变的，可以设为00

E⊥k,H⊥k E \perp k, H \perp k

E⊥HE \perp H

运用Ez=Hz=0E_z=H_z=0，我们有

(2-1) 式

∂Ey∂z=κmμ0∂Hx∂t \dfrac{\partial E_y}{\partial z} = \kappa_m \mu_0 \dfrac{\partial H_x}{\partial t}

(2-2) 式

∂Ex∂z=−κmμ0∂Hy∂t \dfrac{\partial E_x}{\partial z} = -\kappa_m \mu_0 \dfrac{\partial H_y}{\partial t}

(4-1) 式

∂Hy∂z=−κeϵ0∂Ex∂t \dfrac{\partial H_y}{\partial z} = -\kappa_e \epsilon_0 \dfrac{\partial E_x}{\partial t}

(4-2) 式

∂Hx∂z=κeϵ0∂Ey∂t \dfrac{\partial H_x}{\partial z} = \kappa_e \epsilon_0 \dfrac{\partial E_y}{\partial t}

由于x,yx,y的方向是任意定的，那么我们可以设xx的方向就是电场的方向；那么我们有

∂Hx∂z=0=∂Hx∂t \dfrac{\partial H_x}{\partial z} = 0 =\dfrac{\partial H_x}{\partial t}

所以磁场强度的方向与电场强度方向垂直，故E⊥HE \perp H

波动方程

原来光就是电磁波

对上面的四个方程中的(2-2)两边对tt求偏导

∂2Ex∂z2=−κmμ0∂∂t⋅∂Hy∂z=κmμ0Keϵ0∂2Ex∂t2\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} = -\kappa_m \mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \cdot \frac{\partial H_y}{\partial z} = \kappa_m \mu_0 K_e \epsilon_0 \frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}

同理，对(4-1)操作，得到以下两个方程

∂2Ex∂z2−κeϵ0Kmμ0∂2Ex∂t2=0∂2Hy∂z2−κeϵ0Kmμ0∂2Hy∂t2=0\begin{align*} \frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} - \kappa_e \epsilon_0 K_m \mu_0 \frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2} &= 0 \\ \frac{\partial^2 H_y}{\partial z^2} - \kappa_e \epsilon_0 K_m \mu_0 \frac{\partial^2 H_y}{\partial t^2} &= 0 \end{align*}

猜根得到

{Ex=Ex0ei(ωt−kz)Hy=Hy0ei(ωt−kz) \begin{cases} E_x=E_{x0} e^{i(\omega t - kz)}\\ H_y=H_{y0} e^{i(\omega t - kz)}\\ \end{cases}

带入方程，得到

{k2=κeϵ0κmμ0ω2k=ωκeϵ0κmμ0 \begin{cases} k^2 = \kappa_e \epsilon_0 \kappa_m \mu_0 \omega^2\\ k = \omega \sqrt{\kappa_e \epsilon_0 \kappa_m \mu_0} \end{cases}

又因为

v=ωk=1κeϵ0κmμ0 v=\dfrac{\omega}{k}= \dfrac{1}{\sqrt{\kappa_e \epsilon_0 \kappa_m \mu_0}}

在真空中，磁导率和介电常数为1；代入数据计算发现，v=c=3.0×108m/sv=c=3.0 \times 10^8 m/s，这就是光速

Info

詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell）在1861年至1862年期间，通过他的电磁理论推导出了光速。他在发表于1865年的论文《电磁场的动力学理论》（A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field）中系统地总结了这一成果。

麦克斯韦通过结合法拉第电磁感应定律、安培定律（修正后引入了位移电流）、高斯定律以及高斯磁定律，形成了一组描述电磁场的方程组，即后来被称为“麦克斯韦方程组”。在推导过程中，他注意到电磁波的传播速度与介质的电磁性质相关：

v=1μ0ε0v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}

当麦克斯韦使用当时已知的实验数据计算该值时，发现其结果接近于已知的光速（约 3×108 m/s3 \times 10^8 \, \text{m/s}）。因此，他提出了一个革命性的假设：光是一种电磁波。这一发现是物理学史上的重要里程碑，将电磁学和光学统一在一个理论框架内。

而式子中余下的

κeκm=n \sqrt{\kappa_e \kappa_m} = n

即为折射率(光速在真空中的速度与介质中的速度的比值)

v=cn v=\dfrac{c}{n}

电场和磁场

由推导电场与磁场相互垂直的(2-2)式∂Ex∂z=−κmμ0∂Hy∂t\dfrac{\partial E_x}{\partial z} = -\kappa_m \mu_0 \dfrac{\partial H_y}{\partial t},继续将得出的电场和磁场代入，得到

−ikEx0ei(ωt−kx)=−κmμ0iωHy0ei(ωt−kx)kEx0=κmμ0ωHy0Ex0=κmμ0ωkHy0=κmμ0vHy0=κmμ01κmμ0κeε0Hy0κeε0Ex0=κmμ0Hy0κeε0Ex0eiϕE=κmμ0Hy0eiϕH\begin{align*} -i k E_{x_0} e^{i(\omega t - kx)} &= -\kappa_m \mu_0 i \omega H_{y_0} e^{i(\omega t - kx)} \\ k E_{x_0} &= \kappa_m \mu_0 \omega H_{y_0} \\ E_{x_0} &= \kappa_m \mu_0 \frac{\omega}{k} H_{y_0} = \kappa_m \mu_0 v H_{y_0} \\ &= \kappa_m \mu_0 \frac{1}{\sqrt{\kappa_m \mu_0 \kappa_e \varepsilon_0}} H_{y_0} \\ \sqrt{\kappa_e \varepsilon_0} E_{x_0} &= \sqrt{\kappa_m \mu_0} H_{y_0} \\ \sqrt{\kappa_e \varepsilon_0} E_{x_0} e^{i \phi_E} &= \sqrt{\kappa_m \mu_0} H_{y_0} e^{i \phi_H} \end{align*}

初相相同

{κeε0E0=κmμ0H0ϕE=ϕH\begin{cases} \sqrt{\kappa_e \varepsilon_0} E_0 = \sqrt{\kappa_m \mu_0} H_0 \\ \phi_E = \phi_H \end{cases}

在真空中，κe=κm=1\kappa_e=\kappa_m=1

所以

ε0E0=μ0H0 \sqrt{\varepsilon_0} E_0 = \sqrt{\mu_0} H_0 E0=μ0H0ε0μ0=cB0 E_0 = \dfrac{\mu_0 H_0}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}=cB_0
Key Point
B0=E0c B_0=\dfrac{E_0}{c}

电场和磁场只差一个常数！

电磁波的能量密度

单位体积内电磁波的能量包括电场的部分和磁场的部分

U=∭(12ε0E2+12B2μ0)dvU = \iiint \left( \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0} \right) dv

更一般的

U=UE+UB=∭(12D⋅E+12B⋅H)dvU = U_E + U_B = \iiint \left( \frac{1}{2} \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{E} + \frac{1}{2} \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{H} \right) dv dUdt=ddt∭(12D⋅E+12B⋅H)dv\frac{dU}{dt} = \frac{d}{dt} \iiint \left( \frac{1}{2} \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{E} + \frac{1}{2} \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{H} \right) dv =12∭∂∂t(D⋅E+B⋅H)dv= \frac{1}{2} \iiint \frac{\partial}{\partial t} \left( \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{E} + \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{H} \right) dv

展开：

∂∂t(D⋅E+B⋅H)=κeε0∂∂t(E⋅E)+κmμ0∂∂t(H⋅H)\frac{\partial}{\partial t} \left( \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{E} + \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{H} \right) = \kappa_e \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} (\boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{E}) + \kappa_m \mu_0 \frac{\partial}{\partial t} (\boldsymbol{H} \cdot \boldsymbol{H}) =2κeε0E⋅∂E∂t+2κmμ0H⋅∂H∂t= 2 \kappa_e \varepsilon_0 \boldsymbol{E} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} + 2 \kappa_m \mu_0 \boldsymbol{H} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{H}}{\partial t}

{==

=2E⋅∂D∂t+2H⋅∂B∂t= 2 \boldsymbol{E} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} + 2 \boldsymbol{H} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}

==}

由麦克斯韦方程：

∂D∂t=∇×H−J0\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} = \nabla \times \boldsymbol{H} - \boldsymbol{J_0} ∂B∂t=−∇×E\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} = -\nabla \times \boldsymbol{E}

代入高亮部分后得到：

2E⋅(∇×H−J0)−2H⋅(∇×E)2 \boldsymbol{E} \cdot \left( \nabla \times \boldsymbol{H} - \boldsymbol{J_0} \right) - 2 \boldsymbol{H} \cdot \left( \nabla \times \boldsymbol{E} \right) =2[E⋅(∇×H)−H⋅(∇×E)−J0⋅E]= 2 \left[ \boldsymbol{E} \cdot (\nabla \times \boldsymbol{H}) - \boldsymbol{H} \cdot (\nabla \times \boldsymbol{E}) - \boldsymbol{J_0} \cdot \boldsymbol{E} \right] =−2∇⋅(E×H)−2J0⋅E= -2 \nabla \cdot (\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H}) - 2 \boldsymbol{J_0} \cdot \boldsymbol{E}

以上的化简运用了

E⋅(∇×H)−H⋅(∇×E)=−∇⋅(E×H)\boldsymbol{E} \cdot (\nabla \times \boldsymbol{H}) - \boldsymbol{H} \cdot (\nabla \times \boldsymbol{E}) = - \nabla \cdot (\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H})

最后运用高斯定理化简得到

dUdt=−∭∇⋅(E×H)dv−∭(J0⋅E)dv\frac{dU}{dt} = - \iiint \nabla \cdot (\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H}) dv - \iiint (\boldsymbol{J_0} \cdot \boldsymbol{E}) dv

{==

=−∬(E×H)⋅dA−∭(J0⋅E)dv= - \iint (\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H}) \cdot d\boldsymbol{A} - \iiint (\boldsymbol{J_0} \cdot \boldsymbol{E}) dv

==}

接下来，我们继续讨论最后的J0⋅EJ_0 \cdot E 积分会得到什么

由于J0=σ(E+K),∴E=1σJ0−KJ_0 =\sigma (\boldsymbol{E}+\boldsymbol{K}) , \therefore \boldsymbol{E}=\dfrac{1}{\sigma} J_0 - \boldsymbol{K}

所以

∫∫∫(j0⋅E)dv=(j0⋅E)ΔA⋅Δl=j0⋅(ρj0−K)ΔA⋅Δl=ρj02ΔA⋅Δl−j0⋅KΔA⋅Δl=ρΔlΔA(j0A)2−(j0A)(K⋅Δl)=Ri02−i0Δε=Q−P\begin{align*} \int\int\int \left( \boldsymbol{j_0} \cdot \boldsymbol{E} \right) dv & = \left( \boldsymbol{j_0} \cdot \boldsymbol{E} \right) \Delta A \cdot \Delta l \\ & = \boldsymbol{j_0} \cdot \left( \rho \boldsymbol{j_0} - \boldsymbol{K} \right) \Delta A \cdot \Delta l \\ & = \rho j_0^2 \Delta A \cdot \Delta l - \boldsymbol{j_0} \cdot \boldsymbol{K} \Delta A \cdot \Delta l \\ & = \rho \frac{\Delta l}{\Delta A} \left( j_0 A \right)^2 - \left( j_0 A \right) \left( \boldsymbol{K} \cdot \Delta l \right) \\ & = R i_0^2 - i_0 \Delta \varepsilon & = Q - P \end{align*}

最后得到单位时间内的能量为

Key Point
dUdt=−∬S⋅dA−Q+P \dfrac{dU}{dt} = - \iint \boldsymbol{S} \cdot d\boldsymbol{A} - Q + P

Poynting 矢量

定义单位时间，单位面积内的能量流动

S=E×H\boldsymbol{S} = \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H}
Note
S=EBμ0=E2μ0c=E2Z0 S = \dfrac{EB}{\mu_0} = \dfrac{E^2}{\mu_0 c} = \dfrac{E^2}{Z_0}

其中Z0=377ΩZ_0=377 \Omega

能量密度(单位时间，单位面积)为Poynting矢量的均值

Note

电场能量密度与磁场能量密度的关系

μE=12ε0E2=12εc2B2=12B2μ0=μB \mu_E=\dfrac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 = \dfrac{1}{2} \varepsilon c^2B^2 = \dfrac{1}{2} \dfrac{B^2}{\mu_0} = \mu_B

故总能量密度(单位时间，单位体积)为

μ=μE+μB=2μE=ε0E2 \mu = \mu_E + \mu_B = 2 \mu_E = \varepsilon_0 E^2
II 与 μ\mu 的关系
Example

电路中的能量传输

如图的一个直流电路

考虑与电源正极相连的导线，导线内部有一个电场，那么导线外部一定也有一个方向相同的电场,这是因为

∮E⋅dl=−dΦBdt=0 \oint \boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{dl} = -\dfrac{d\Phi_B}{dt} =0

再加上一个垂直导线的电场，根据S=E×HS=E \times H，我们可以得到能量流动的方向，一方面流向电阻，另外一方面被导线消耗

与电源负极相连的导线也是类似的；

电磁波蕴含的力

首先假设其有一个力ΔF\Delta F，那么这个力会对电荷做功，即ΔW=ΔF⋅Δl\Delta W = \Delta F \cdot \Delta l;而这一部分功就是这个物体吸收的净能量;

ΔF⋅cΔt=(Sin−Sout)⋅ΔAΔt\Delta \boldsymbol{F} \cdot c \Delta t = (\boldsymbol{S_{in}} - \boldsymbol{S_{out}}) \cdot \Delta A \Delta t

故

ΔF=1c(Sin−Sout)ΔA\Delta \boldsymbol{F} = \dfrac{1}{c} (\boldsymbol{S_{in}} - \boldsymbol{S_{out}}) \Delta A
Warning

注意是矢量减

光压(light pressure)

单位面积上的力

P=1c(Sin−Sout) P = \dfrac{1}{c} (\boldsymbol{S_{in}} - \boldsymbol{S_{out}})

动量密度

单位体积内的动量

Δg=F⋅ΔtΔAcΔt=FcΔA=1c2(Sin−Sout) \Delta g = \dfrac{F \cdot \Delta t}{\Delta A c \Delta t} = \dfrac{F}{c \Delta A} = \dfrac{1}{c^2}(\boldsymbol{S_{in}} - \boldsymbol{S_{out}})

gin=1c2Sing_{in}=\dfrac{1}{c^2}S_{in} 为入射光的动量密度，gout=1c2Soutg_{out}=\dfrac{1}{c^2}S_{out} 为反射光的动量密度

Key Point

对于白体，Sin=SoutS_{in}=S_{out}，故gin=goutg_{in}=g_{out}

P=2cSin P = \dfrac{2}{c} \boldsymbol{S_{in}}

对于黑体，Sout=0S_{out}=0，故gin=1c2Sing_{in}=\dfrac{1}{c^2}S_{in}

P=1cSin P = \dfrac{1}{c} \boldsymbol{S_{in}}