电动力学

法拉第电磁感应定律

\Phi = \int_S \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{S}

\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}

Key Point

楞次定律已经蕴含在"-"号中,楞次定律是能量守恒定律在电磁感应中的体现

动生电动势

电荷受到的非静电力

\boldsymbol{f} = q(\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})

实际上这个是洛伦兹力的分量

Proof

克服洛伦兹力的分量做功转化为非静电力做功,洛伦兹力总的不做功

V=v+v_d \enspace F=N+f

F=qVB

dW_N=N (vdt)=F\sin\theta vdt=Fvdt\dfrac{v_d}{V}=F\dfrac{v}{V}(v_d dt)=F\cos\theta v_d dt=fv_d dt=dW_f

动生电动势

\varepsilon =\oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l}=\oint \dfrac{\boldsymbol{f}}{q}d\boldsymbol{l}= \oint (\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}) \cdot d\boldsymbol{l}

发电机

\Phi = \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{S} =BS\cos\theta=BA\cos\omega t

\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt} = BA\omega\sin\omega t

感生电动势

涡旋电流

\varepsilon = \oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l}

Proof

做功相等

\varepsilon q_0=q_0 E_{induce} l

\varepsilon = E_{induce} l

\varepsilon = \oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l}

这提供了一种求出感生电场的方法

Example

磁场静止，动生电动势 $\varepsilon=BDv$

磁场运动，感生电动势

\varepsilon=\oint E dl=ED=BDv

E=v \times B

变化的磁场

\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}=-A \frac{dB}{dt}

推广电场环路定律

\oint (\boldsymbol{E_{sta}+E_{ind}}) \cdot d\boldsymbol{l} =0+( -\frac{d\Phi}{dt})

\Phi = \iint \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{S}

\oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = -\frac{d\Phi}{dt}= - \iint \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot d\boldsymbol{S}

运用stokes公式

\nabla \times \boldsymbol{E} = -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}

Danger

在涡旋电场中，环路积分并不是0，所以在涡旋电场中不能使用电势的概念

电感

互感

$i_1$ 产生的磁场会使得 $s_2$ 感应出 $\varepsilon_2$

$i_2$ 产生的磁场会使得 $s_1$ 感应出 $\varepsilon_1$

由 $s_1$ 在 $s_2$ 上导致的磁通匝链数

\Psi_{12} \propto N_2A_2B_1 \propto N_2\Phi_1 = M_{12}i_1

由 $s_2$ 在 $s_1$ 上导致的磁通匝链数

\Psi_{21} \propto N_1A_1B_2 \propto N_1\Phi_2 = M_{21}i_2

M_{12} = \frac{\Psi_{12}}{i_1} = \frac{N_2 \Phi_{12}}{i_1}; \quad \varepsilon_2 = -\frac{d\Psi_{12}}{dt} = -M_{12} \frac{di_1}{dt}, \quad (i_1 \text{ change})

M_{21} = \frac{\Psi_{21}}{i_2} = \frac{N_1 \Phi_{21}}{i_2}; \quad \varepsilon_1 = -\frac{d\Psi_{21}}{dt} = -M_{21} \frac{di_2}{dt}, \quad (i_2 \text{ change})

互感系数

如上的 $M_{12}$ 和 $M_{21}$ 就是被称为互感系数，单位为亨利(Hery)

1H=1\dfrac{Wb}{A}

常见的有 $mH,\mu H$ 等

自感

类似的有

\Psi = NBA =Li

\varepsilon_{L}= -\dfrac{d\Psi}{dt}=-L\dfrac{di}{dt} =V_b-V_a

其中 $L$ 被称为自感系数

通电螺线管的自感系数

$n$ 为单位长度的匝数

磁场强度

B = \mu_0 n i

磁通匝链数

\psi = N \Phi_B = n l BA = \mu_0 n^2 i l A

自感系数

L = \frac{\psi}{i} = \mu_0 n^2 l A = \mu_0 n^2 V

单位体积的自感系数

L_v = \frac{L}{V} = \mu_0 n^2

单位长度的自感系数

L_l = \frac{L}{l} = \mu_0 n^2 A

长方形截面螺绕环

\int \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 Ni

B = \frac{\mu_0 i N}{2 \pi r}

\Phi_B = \int \int \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = \int_a^b \frac{\mu_0 i N}{2 \pi r} h dr

= \frac{\mu_0 i N h}{2 \pi} \int_a^b \frac{dr}{r} = \frac{\mu_0 i N h}{2 \pi} \ln \frac{b}{a}

\therefore L = \frac{N \Phi_B}{i} = \frac{\mu_0 N^2 h}{2 \pi} \ln \frac{b}{a}

同轴电缆

\int \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 i,

B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}

\Phi_B = \iint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = \int_{R_1}^{R_2} Bl \, dr

= \frac{\mu_0 il}{2 \pi} \int_{R_1}^{R_2} \frac{dr}{r} = \frac{\mu_0 il}{2 \pi} \ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right)

\therefore L = \frac{\Phi_B}{i} = \frac{\mu_0l}{2 \pi} \ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right)

线圈拼接

其互感系数为

M=\sqrt{L_1L_2}

自感系数为

顺接

L=L_1+L_2+2M

反接

L=L_1+L_2-2M

材料的磁性质

在电容器中间插入电介质，可以让电容增大

C=\kappa_e C_0

在通电螺线管中插入铁磁材料，同样可以为自感系数增大

L=\kappa_m L_0

其中 $\kappa_m$ 被称为磁导率

对于顺磁性材料，其磁导率约为1；对于铁磁性材料，其磁导率远大于1( $10^3 \sim 10^4$ )

价电子的磁偶极矩

\mu = iA

i = \frac{e}{T} = \frac{e}{2\pi r/v} = \frac{ev}{2\pi r}

\therefore \mu = iA = \frac{ev}{2\pi r} \cdot \left(\pi r^2\right) = \frac{1}{2} erv

角动量为

L = mvr

所以

\boldsymbol{\mu_l}=-\dfrac{e}{2m}\boldsymbol{L}

\boldsymbol{L}=\sqrt{L(L+1)}\dfrac{h}{2\pi}=\sqrt{L(L+1)}\hbar

自旋的磁偶极矩

自旋角动量

Particle	Spin	Type
Electron	$s = \frac{1}{2} \hbar$	Fermi
Proton	$s = \frac{1}{2} \hbar$	Fermi
Neutron	$s = \frac{1}{2} \hbar$	Fermi
Deuteron	$s = \hbar$	Bose
Alpha Particle	$s = 0$	Bose

Note

$\hbar=\dfrac{h}{2\pi}$ 为约化普朗克常数

自旋磁矩

\boldsymbol{\mu_s}=-\dfrac{e}{m}\boldsymbol{S}

Key Point

总磁矩

\boldsymbol{\mu}=\boldsymbol{\mu_l}+\boldsymbol{\mu_s}=-\dfrac{e}{2m}\boldsymbol{J}

\boldsymbol{J}=\boldsymbol{L}+2\boldsymbol{S}

磁化强度 $M$

在电容部分，我们引入了极化强度 $P$ ，在磁场部分，我们也类似的引入磁化强度 $M$ 用于刻画磁性材料的磁性质

向通电螺线管中插入铁磁材料，原本杂乱无章的分子磁矩会受到磁场的作用，使得磁矩方向趋于一致，朝向磁场方向，在宏观上相当于在材料外围产生了一个电流

此时磁场被增强

\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B_0}+\boldsymbol{B'_{M}}

磁化强度矢量

我们定义磁化强度矢量 $\boldsymbol{M}$ 为单位体积内磁矩的矢量和，即

\boldsymbol{M}=\dfrac{\sum \boldsymbol{\mu}}{V}

我们也希望磁化强度矢量有类似于极化强度矢量的性质，即

\oint \boldsymbol{M} \cdot d\boldsymbol{l} = \sum i_{in} \enspace (\oiint \boldsymbol{P} \cdot d\boldsymbol{A} = -\sum q_{in})

\boldsymbol{M} \cdot \boldsymbol{n} = j' \enspace (\boldsymbol{P} \cdot \boldsymbol{n} = \sigma_{surf})

红色的是电流，电流面密度为

j' = \frac{i}{\Delta z}

只用除以 $\Delta z$ 是因为我们只考虑到了表面的电流，即其向 $y$ 的方向是没有的

\Delta m = i' \cdot \Delta A = j' \Delta x \Delta y \Delta z

M = \frac{\Delta m}{\Delta V} = j'

M \cdot \Delta z = i'

磁场强度

由环路定律

\oint_L \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{l} = \mu_0 \sum_{inL} (i_0 + i') = \mu_0 \sum_{inL} i_0 + \mu_0 \oint_L \boldsymbol{M} \cdot d\boldsymbol{l}

\oint_L \left( \frac{\boldsymbol{B}}{\mu_0} - \boldsymbol{M} \right) \cdot d\boldsymbol{l} = \sum_{inL} i_0

定义磁场强度为

\boldsymbol{H} = \frac{\boldsymbol{B}}{\mu_0} - \boldsymbol{M}

Note

磁化强度和磁场强度的关系为

\boldsymbol{M}= \chi_m \boldsymbol{H}

那么

\boldsymbol{B}=\mu_0(\boldsymbol{H}+\boldsymbol{M})=\mu_0(1+\chi_m)\boldsymbol{H}= \mu_0 \kappa_m \boldsymbol{H}

则 $\kappa_m=1+\chi_m$

Example

在上面的例子中，我们可以得到

\oint_L \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{l} = \sum_{inL} i_0

\boldsymbol{H} \cdot \Delta \boldsymbol{l} = N i_0 \ \Rightarrow \ H = n i_0

B = \mu_0 \kappa_m H = \mu_0 \kappa_m n i_0 = \kappa_m B_0

Idea

以这样的角度来看，磁场强度 $H$ 和电场强度 $E$ ，磁感应强度 $B$ 和电感应强度 $D$ 的关系又是可以对应的

D = \varepsilon_0 E+P=\varepsilon_0 \kappa_e E

B = \mu_0(H+M)=\mu_0 \kappa_m H

磁化率与磁导率

	顺磁	抗磁	铁磁
$\chi_m$	大于0但是小( $10^{-6}$ )	小于0但绝对值远小于1	与磁场强度有关
$\kappa_m$	大于1但是接近1	小于1但是接近1	与磁场强度有关( $10^2 \sim 10^3$ )

微观解释

顺磁材料(paramegnetic material)

原本杂乱无章的磁矩，在外磁场下，材料内部的磁矩会朝向磁场方向,但是与温度有关

居里定律

\boldsymbol{M}=\chi_m\boldsymbol{H} \enspace \chi_m = \dfrac{C}{T}

其中 $C$ 为居里常数， $T$ 为温度

顺磁性的磁化率很小，磁化强度也很小，对磁场的影响很小

抗磁材料(diamagnetic material)

抗磁材料在没有外磁场的情况下，内部总磁矩为0;即：

\boldsymbol{\mu}=\boldsymbol{0} \enspace \boldsymbol{J}=\boldsymbol{0}

原本电子磁矩相消，加上外磁场后，电受到洛伦兹力，不管它是被加速还是被减速，都会产生一个与外磁场方向相反的磁矩(抗磁);

\frac{Ze^2}{4\pi \varepsilon_0 r^2} = m \omega_0^2 r

\omega_0 = \left( \frac{Ze^2}{4\pi \varepsilon_0 m r^3} \right)^{1/2}

\frac{Ze^2}{4\pi \varepsilon_0 r^2} + e \omega r B = m \omega^2 r

\omega = \omega_0 + \Delta \omega

\Delta \omega = \frac{eB}{2m}

增加的力与库仑力相比要小的多，产生的磁场也比顺磁材料感应的磁场小得多，对轨道半径几乎没有影响

其磁矩的变化为

u = iA = \frac{ev}{2\pi r} \left( \pi r^2 \right) = \frac{1}{2} evr = \frac{e r^2}{2} \omega, \quad \boldsymbol{\mu_0} = -\frac{e r^2}{2} \boldsymbol{\omega_0}

\Delta \boldsymbol{\mu} = -\frac{e r^2}{2} \Delta \boldsymbol{\omega} = -\frac{e^2 r^2}{4m} \boldsymbol{B}

铁磁材料(ferromagnetic material)

初始的 $\mu \neq 0$ ,且近邻原子磁矩间存在强相互作用

磁化强度矢量与温度的关系

居里-维斯定理

\chi_m=\dfrac{C}{T-\theta}

磁畴

即使在没有外加磁场B的情况下，磁性材料中的磁偶极子（磁性小区域）也会倾向于在小范围内强烈地排列成特定的方向，形成所谓的“磁畴”。当施加外部磁场时，这些磁畴会重新排列，使得它们的方向一致，从而产生大的净磁化强度。

软铁磁体：指的是容易被磁化和退磁的磁性材料。它们在外部磁场作用下磁畴会有序排列，但磁场移除后磁畴会很快随机化。
硬铁磁体：指的是不易被退磁的磁性材料，例如某些特殊合金。它们在外部磁场移除后仍能保持磁畴的有序排列，因此具有较强的磁性。
永久磁体：通常指永久保持磁性的材料，例如稀土磁铁。它们的磁畴在没有外力作用下不会随机化，但可以通过施加外力（如磁场或震动）来改变磁畴的方向。
居里点：是磁性材料的一个物理特性，指的是材料由铁磁性变为顺磁性的转变温度。对于铁来说，这个温度是770摄氏度。

RL-回路

RC回路

iR + \frac{q}{C} = \epsilon

\frac{dq}{dt} + \frac{1}{RC} q = \frac{\epsilon}{R}

q = C\epsilon\left(1 - e^{-t/RC}\right)

开关打到a

iR + L \frac{di}{dt} = \varepsilon

\frac{di}{dt} = \frac{1}{L} \left( \varepsilon - iR \right) = -\frac{R}{L} \left( i - \frac{\varepsilon}{R} \right)

i - \frac{\varepsilon}{R} = C'e^{-\frac{R}{L}t}

When $t = 0, i = 0$ , thus $C' = -\frac{\varepsilon}{R}$ .

所以

i = \frac{\varepsilon}{R}\left(1 - e^{-\frac{R}{L}t}\right) = \frac{\varepsilon}{R}\left(1 - e^{-\frac{t}{\tau_L}}\right)

\tau_L = \frac{L}{R}

V_L = -L \frac{di}{dt} = -\varepsilon e^{-\frac{t}{\tau_L}}

{==时间常数 $\frac{R}{L}$ ==}

对于电流

i = \dfrac{\varepsilon}{R}(1-e^{-\frac{-Rt}{L}})

最大是 $\dfrac{\varepsilon}{R}$ ，在 $t=L/R$ 达到最大值的 $63\%$

对于电压

V_L = L\dfrac{di}{dt}=-\varepsilon e^{-\frac{-Rt}{L}}

最大是 $\varepsilon$ ，在 $t=L/R$ 达到最大值的 $37\%$

开关打到b

iR + L \frac{di}{dt} = 0

\frac{di}{dt} = -\frac{R}{L}i

i = i_0 e^{-\frac{R}{L}t}

$t=0$ , $i_0=\dfrac{\varepsilon}{R}$

i = \dfrac{\varepsilon}{R}e^{-\frac{R}{L}t}

对于电流，在 $L/R$ 时间后，电流减少到原来的 $37\%$

对于电压,在 $L/R$ 时间后，电压减少到原来的 $37\%$

线圈的能量

Note

回忆电容器的能量

U = \frac{1}{2} CV^2 \enspace u_e=\dfrac{1}{2}\varepsilon E^2

dW = -\varepsilon dq = -\varepsilon i dt = Lidi

W = \int_0^I Lidi = \frac{1}{2} LI^2

Info

如果是互感线圈，那么 $W=MI_1I_2$

Key Point

磁场的能量密度

u_m = \dfrac{1}{2\mu_0}B^2

总结

$\mu_B=\dfrac{1}{2}\boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{H}$

$\mu_E=\dfrac{1}{2}\boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{E}$

电磁振荡

电容电场能和线圈磁场能量相互转化

Info

可以类比于弹簧振子，弹簧的势能和动能相互转化

$q$ ->弹簧的位移 $x$ , $i$ ->弹簧的速度 $v$ , $\dfrac{1}{C}$ ->弹簧的劲度系数 $k$ , $L$ ->弹簧的质量 $m$

\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}

Proof

U = U_B + U_E = \frac{1}{2} Li^2 + \frac{1}{2} \frac{q^2}{C}

\frac{dU}{dt} = Li \frac{di}{dt} + \frac{q}{C} \frac{dq}{dt} = Li \frac{d^2 q}{dt^2} + \frac{q}{C} i = 0

\frac{d^2 q}{dt^2} + \frac{1}{LC} q = 0

\left( \frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{k}{m} x = 0 \right)

\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{\sqrt{LC}}

阻尼和受迫振动

RLC电路

对于开关打到a和b的情况，我们可以得到

L \frac{di}{dt} + iR + \frac{q}{C} = \begin{cases} \varepsilon & \text{K} \to a \\ 0 & \text{K} \to b \end{cases}

即

i = \frac{dq}{dt}, \quad L \frac{d^2 q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{1}{C} q = \begin{cases} \varepsilon & \\ 0 & \end{cases}

过阻尼

当

R^2 > \frac{4L}{C}

此时为过阻尼震荡

临界阻尼

当

R^2 = \frac{4L}{C}

此时为临界阻尼震荡

q = (A+Bt)e^{-\frac{R}{2L}t}+C\varepsilon

图像与过阻尼相似,但是震荡得更快

欠阻尼

当

R^2 < \frac{4L}{C}

此时为欠阻尼震荡

做振幅不断减小的振动

受迫振动和共振

如果外加电压为交流电，当变化频率与电路固有频率相同时，电路会发生共振

Info

普通的天线无法同时接受很多的信号，如果很多人一起打电话，那么电线就会瘫痪掉，但是如果使用的是超导体天线，电阻很小，其振幅的宽度很小很小，不用担心共振的问题

最后，附上本人普通物理学(I)有关阻尼震荡的笔记，~~有空再敲上来吧~~

振动方程推导

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法拉第电磁感应定律

动生电动势

感生电动势

电感

互感

自感

通电螺线管的自感系数

长方形截面螺绕环

同轴电缆

线圈拼接

材料的磁性质

价电子的磁偶极矩

自旋的磁偶极矩

自旋角动量

自旋磁矩

磁化强度MMM

磁场强度

磁化率与磁导率

微观解释

顺磁材料(paramegnetic material)

抗磁材料(diamagnetic material)

铁磁材料(ferromagnetic material)

磁畴

RL-回路

开关打到a

开关打到b

线圈的能量

电磁振荡

阻尼和受迫振动

RLC电路

磁化强度 $M$