合作博弈与沙普利值

一个具有可转移效用（transferable utility）的合作博弈（或称为 TU 博弈）是一个满足如下条件的二元组 $(N, v)$：

1. $N=\{1,2,...,n\}$ 是一个有限的参与者集合；一个 $N$ 的子集被称为一个联盟（coalition），全体联盟构成的集合记为 $2^N$；

• $v:2^N \rightarrow \mathbb{R}$ 称为该博弈的特征函数（characteristic function），对于任意的 $S \subseteq N$，$v(S)$ 表示联盟 $S$ 的价值（worth），且满足 $v(\emptyset)=0$

一个合作博弈 $(N, v)$ 的解概念是一个函数 $\varphi$，它将每个博弈 $(N, v)$ 与一个 $\mathbb{R}^n$ 的子集 $\varphi(N, v)$ 联系起来。如果对于任意的博弈 $\varphi(N, v)$ 都是一个单点集，则称这一解概念为单点解（point solution）。

更通俗地说，合作博弈的解概念就是一个将每个博弈映射到一个可行的收入分配集合的函数，这个集合中的每个元素是一个分配向量 $(\varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_n)$，其中 $\varphi_i$ 表示参与者 $i$ 在当前分配下可以获得的收入。

Example

一个合作博弈 $(N, v)$ 的核（core）是一个解概念 $\varphi$，其中 $\varphi(N, v)$ 由满足以下两个条件的分配向量 $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 组成：

1. 有效率的（efficient） : $\sum_{i=1}^n x_i = v(N)$，即所有参与者分完了整个联盟的全部收入；

• 联盟理性（coalitionally rational） : 对于任意的 $S \subseteq N$，有 $\sum_{i \in S} x_i \geq v(S)$，即对于任何联盟而言，他们在大联盟中分配到的收入一定不会比离开大联盟组成小联盟获得的收入少。

Example

也存在核为空集的博弈

令 $\varphi$ 为一个单点解，即对于任意的合作博弈 $(N; v)$（其中 $N = \{1, 2, \ldots, n\}$），$\varphi_i(N; v)$ 都是一个单点集，也就是唯一一个 $\mathbb{R}^n$ 中的向量。我们定义 $x(\varphi_i(N; v))$ 为向量 $\varphi(N; v)$ 中的第 $i$ 个位置的元素，即 $\varphi_i(N; v)$ 表示参与者 $i$ 在博弈 $(N; v)$ 中的分配到的收入。

• 一个解概念 $\varphi$ 是有效率的 (efficiency)，若对于任意的合作博弈 $(N; v)$（其中 $N = \{1, 2, \ldots, n\}$），有 $\sum_{i=1}^{n} \varphi_i(N; v) = v(N)$。这与核的要求一致。

• 一个解概念 $\varphi$ 是对称的 (symmetry)，若对于任意的合作博弈 $(N; v)$ 和任意的 $i, j \in N$，如果对于任意的 $S \subseteq N \setminus \{i, j\}$，有 $v(S \cup \{i\}) = v(S \cup \{j\})$，则 $\varphi_i(N; v) = \varphi_j(N; v)$。这意味着如果两个参与者对所有可能的合作子集的贡献相同，那么他们应该得到相同的分配。

• 一个解概念 $\varphi$ 是零贡献者的 (null player)，若对于任意的合作博弈 $(N; v)$ 和任意的 $i \in N$，如果对于任意的 $S \subseteq N \setminus \{i\}$，有 $v(S \cup \{i\}) = v(S)$，则 $\varphi_i(N; v) = 0$。这意味着如果一个参与者对任何合作子集都没有增加价值，那么他们的分配应该为零。

Example

设定 $P_i(\sigma) = \{j \in N \mid \sigma(j) < \sigma(i)\}$

即在排序 $\sigma$ 中位于参与人 $i$ 前面的所有参与人的集合。例如若在排序 $\sigma$ 下参与人 $i$ 排在了第一位，那么 $P_i(\sigma) = \varnothing$。