LEC 3-4


这是一个经典的占优策略均衡的例子。无论对方坦白还是抵赖，对个人而言，坦白都是严格占优策略。因此，双方都坦白是严格占优策略均衡，也是唯一的纳什均衡。

剪刀石头布（Rock-Paper-Scissors）这个游戏有纳什均衡，但它是一个混合策略纳什均衡（Mixed Strategy Nash Equilibrium）。

在剪刀石头布中，没有纯策略纳什均衡。这意味着你无法找到一个单一的、确定的策略（比如"我只出剪刀"），使得在已知对方策略的情况下，你没有动机改变。

让我们来分析一下：

• 如果你总是出剪刀，那么你的对手就会知道这一点，并且总是出石头来赢你。
• 如果你总是出石头，你的对手就会出布来赢你。
• 如果你总是出布，你的对手就会出剪刀来赢你。

所以，任何纯策略都不是纳什均衡，因为总是存在一个对手可以通过选择另一个策略来打败你的策略。

混合策略纳什均衡

在剪刀石头布中，唯一的纳什均衡是每个玩家都以 1/3 的概率 随机选择剪刀、石头和布。

为什么这是纳什均衡？

如果你的对手以 1/3 的概率随机出剪刀、石头和布：

• 你出剪刀的期望收益是：(1/3) * (平局) + (1/3) * (输) + (1/3) * (赢) = 0 (假设赢+1，输-1，平0)
• 你出石头的期望收益是：(1/3) * (赢) + (1/3) * (平局) + (1/3) * (输) = 0
• 你出布的期望收益是：(1/3) * (输) + (1/3) * (赢) + (1/3) * (平局) = 0

无论你选择哪个纯策略，你的期望收益都是0。因此，你没有动机偏离随机选择的策略，因为你无法通过单方面改变策略来获得更高的期望收益。同理，对手也没有动机偏离。

有一块公共牧场（这就是"公地"）。村里的每个农民都可以自由地在这块牧场上放牧自己的奶牛。假设放牧的奶牛越多，牧场的草地资源就越紧张，每头奶牛能吃到的草就越少，因此每头奶牛产奶量（收益）就会下降。

农民的个体理性决策：

每个农民在决定是否多养一头奶牛时，都会进行如下思考：

收益： 如果我多养一头奶牛，这头奶牛带来的产奶收益几乎全部归我所有。

成本： 这头奶牛会额外消耗牧场的草，导致所有奶牛（包括我自己的和其他农民的）的产奶量略有下降。但这个下降的成本是分散到所有奶牛身上的，对我自己的那头新奶牛而言，它分摊的成本只是一小部分。而养这头牛的直接成本（比如买牛的钱）是我自己承担的。

由于每增加一头奶牛所带来的收益（几乎全部归己）大于其边际成本（特别是对公共草地造成的外部性被分散了），所以每个农民都有激励去尽可能多地增加自己的奶牛数量，直到他认为增加一头奶牛的私人收益不再大于私人成本。

集体的非理性结果（悲剧）：

当所有农民都进行这种个体理性决策时，结果是：

奶牛数量过多： 牧场上的奶牛总数远远超过了牧场的承载能力。

草地退化： 牧场被过度放牧，草地资源枯竭，变得贫瘠。

所有农民的损失： 最终，每头奶牛的产奶量都大幅下降，甚至无法维持生存。整个牧场遭到破坏，所有农民的收益都受到严重损害，甚至可能完全消失。这个公共资源被"悲剧性"地耗尽了。

考虑如下性别大战：一对夫妻要安排他们周末的活动，可选择的活动有看 足球赛（$F$）和听音乐会（$C$）。丈夫更喜欢看足球赛，而妻子更喜欢听音 乐会。如果他们选择的活动不同，那么他们都不会高兴，如果他们选择的 活动相同，那么他们都会高兴，只是高兴程度略有不同


首先展示如何使用最优反应法计算混合策略纳什均衡。记丈夫的混合策略为 $(x,1-x)$ (表示以 $x$ 的概率选择 $F$、$1-x$ 的概率选择 $C$)。妻子的混合策略为 $(y,1-y)$。对于丈夫的每个混合策略 $(x,1-x)$，妻子的最优反应集合为 $$br_2(x) = \arg \max_{y\in[0,1]} u_2(x,y)$$ $$= \{y \in [0,1] : u_2(x,y) \geq u_2(x,z), \forall z \in [0,1]\}$$

而 $u_2(x,y) = xy \cdot 1 + (1-x)(1-y) \cdot 2 = 2 - 2x - 2y + 3xy$。将 $x$ 视为定值，对 $y$ 求导得到 $3x-2$，因此可以得到最优反应集合为(丈夫同理)：

$$br_2(x) = \begin{cases} \{0\} & x \in [0,\frac{2}{3}] \\ [0,1] & x = \frac{2}{3} \\ \{1\} & x \in (\frac{2}{3},1] \end{cases}$$ $$br_1(y) = \begin{cases} \{0\} & y \in [0,\frac{1}{3}] \\ [0,1] & y = \frac{1}{3} \\ \{1\} & y \in (\frac{1}{3},1] \end{cases}$$


画图得到三个交点，分别是 $(0,0)$，$(0,1)$，$(\frac{2}{3},\frac{1}{3})$。 由混合策略纳什均衡下双方的对应的收益，可知混合策略下收益并没有达到最大，实际情况中往往是两者商量选择(F,F)或者(C,C)。

也可以使用无差异原则，丈夫选择F和C的收益相同,妻子仍然以混合策略 $(y,1-y)$

也就是说

$$2y = 1-y$$

y=$\frac{1}{3}$，同理可以得到x=$\frac{2}{3}$。

设总产量为 $y_1+y_2$ 时的市场价格为 $2-y_1-y_2$，并且厂商 1 和 2 的生产一件产品的单位生产成本分别为 $c_1,c_2$，求在该假设下二者的子博弈完美均衡产量

先写出厂商 1 和 2 的利润函数：

$$\pi_1 = (2-y_1-y_2)y_1 - c_1y_1$$ $$\pi_2 = (2-y_1-y_2)y_2 - c_2y_2$$

然后先对给定 $y_1$ 的情况下求厂商 2 的最优反应，解得

$$y_2 = \frac{2-y_1-c_2}{2}$$

然后将 $y_2$ 代入厂商 1 的利润函数，求解得到最优的

$$y_1^* = \frac{2+c_2-2c_1}{2}$$

最后将 $y_1$ 代入 $y_2$ 的表达式，求解得到最优的

$$y_2^* = \frac{2+2c_1-3c_2}{4}$$

与古诺模型的区别是，古诺模型中没有彼此的先后关系，也就不能回代；

回忆古诺竞争是两个寡头同时决定产量的博弈。假定企业的利润为

$$u_i = q_i(\theta_i - q_i - q_j)$$

其中 $\theta_i$ 是线性需求函数的截距与企业 $i$ 的单位成本之差，$q_i$ 是企业 $i$ 选择的产量。

企业 1 的类型 $\theta_1=1$ 是共同知识，但企业 2 拥有关于其单位成本的私人信息。企业 1 认为 $\theta_2=\frac{3}{4}$（高成本）和 $\theta_2=\frac{5}{4}$（低成本）的概率均为 $\frac{1}{2}$，且先验分布是共同知识。

如果两个厂商都知道厂商 2 的类型，可以求出高低两种情况的纳什均衡，可以计算出此时的利润然后取平均； 如果两个厂商都不知道厂商 2 的类型，本质上退回完全信息情景，厂商 2 自己都不知道自己的类型，故只能按平均值计算自己的策略， 厂商 1 也知道厂商 2 按平均值计算，从而博弈退化到完全信息场景

关于厂商 2 的类型的知识	厂商 1 的利润	厂商 2 的利润
两个厂商都不知道	1/9	1/9
只有厂商 2 知道	1/9	≈ 0.127
两个厂商都知道	17/144	5/36

首先推导一个公式

这是由利润最大化的一阶条件直接推导出来的。

1. 企业 i 的利润函数为:

   $$u_i = q_i(\theta_i - q_i - q_j)$$

• 利润最大化的一阶条件 (FOC) 是对 $q_i$ 求导并令其为 0:

  $$\frac{\partial u_i}{\partial q_i} = (\theta_i - q_i - q_j) - q_i = \theta_i - 2q_i - q_j = 0$$

• 从一阶条件中，我们可以得到:

  $$\theta_i - q_i - q_j = q_i$$

• 将这个结果代回到原始的利润函数中:

  $$u_i = q_i \underbrace{(\theta_i - q_i - q_j)}_{=q_i} = q_i \cdot q_i = q_i^2$$

因此，在满足最优反应（即一阶条件成立））的任何点上，利润都等于其产量的平方。这在计算均衡利润时是一个非常方便的简化。

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Case 1: 两个厂商都不知道 (对称信息缺失)

在这种情况下，厂商 2 自己也不知道其成本是高是低。因此，它只能基于其类型的期望值来做决策。厂商 1 也知道厂商 2 是这样决策的。

• 厂商 2 的期望类型为：$E[\theta_2] = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = 1$
• 厂商 1 的类型为：$\theta_1 = 1$

博弈退化为一个标准的对称古诺竞争，双方的利润函数为 $u_i = q_i(1 - q_i - q_j)$。

• 求解均衡产量: 双方的最优反应函数为 $q_i^* = (1 - q_j)/2$。联立求解可得：

  $$q_1^* = q_2^* = \frac{1}{3}$$

• 计算利润:

  $$u_1 = u_2 = \frac{1}{3} \left(1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$$

这与表格第一行的数据相符。

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只有厂商 2 知道 (非对称信息)

这就是我们之前求解的标准贝叶斯纳什均衡情景。

• 均衡产量:

  $$q_1^* = \frac{1}{3}, \quad q_2^L = \frac{11}{24} \text{ (低成本)}, \quad q_2^H = \frac{5}{24} \text{ (高成本)}$$

• 计算厂商 1 的期望利润: 厂商 1 不知道对手是哪种类型，因此其利润是期望值：

  $$E[u_1] = \frac{1}{2} q_1^*(1 - q_1^* - q_2^L) + \frac{1}{2} q_1^*(1 - q_1^* - q_2^H)$$ $$= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \left(1 - \frac{1}{3} - \frac{11}{24}\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \left(1 - \frac{1}{3} - \frac{5}{24}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{72} + \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{72} = \frac{16}{144} = \frac{1}{9}$$

  实际上也可以用$u_i=q_i^2$(用一阶导为0来推导)来直接计算得到 1/9

• 计算厂商 2 的期望利润: 厂商 2 知道自己的类型，其期望利润是在它知道自己类型前的期望：

  $$E[u_2] = \frac{1}{2} u_2(q_2^L; \theta_2=\frac{5}{4}) + \frac{1}{2} u_2(q_2^H; \theta_2=\frac{3}{4})$$

  由于 $u_i=q_i^2$ 在均衡时成立，我们有：

  $$E[u_2] = \frac{1}{2} (q_2^L)^2 + \frac{1}{2} (q_2^H)^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{11}{24}\right)^2 + \frac{1}{2} \left(\frac{5}{24}\right)^2 = \frac{1}{2} \frac{121+25}{576} = \frac{73}{576} \approx 0.1267$$

这与表格第二行的数据相符。

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Case 3: 两个厂商都知道 (完全信息)

在这种情况下，信息是完全的。博弈分为两种可能的情况，每种情况发生概率为 1/2。我们需要分别求解，然后计算期望利润。

• 情况 A (厂商 2 为低成本, $\theta_2 = 5/4$):

  • 求解古诺均衡得：$q_1^A = 1/4, q_2^A = 1/2$
  • 利润为：$u_1^A = (1/4)^2 = 1/16$, $u_2^A = (1/2)^2 = 1/4$

• 情况 B (厂商 2 为高成本, $\theta_2 = 3/4$):

  • 求解古诺均衡得：$q_1^B = 5/12, q_2^B = 1/6$
  • 利润为：$u_1^B = (5/12)^2 = 25/144$, $u_2^B = (1/6)^2 = 1/36$

• 计算期望利润:

  • 厂商 1:

    $$E[u_1] = \frac{1}{2} u_1^A + \frac{1}{2} u_1^B = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{16} + \frac{25}{144}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{9}{144} + \frac{25}{144}\right) = \frac{17}{144}$$

  • 厂商 2:

    $$E[u_2] = \frac{1}{2} u_2^A + \frac{1}{2} u_2^B = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{36}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{9}{36} + \frac{1}{36}\right) = \frac{10}{72} = \frac{5}{36}$$

厂商 2 的利润 $5/36 \approx 0.139$ 与表格第三行的数据相符。